【数学】素数基本概念、性质、定理、猜想

素数相关的基本概念、性质、定理、猜想和梅森素数。

基本概念与性质

• $>1$，正整数，除了$1$ 和本身不能被其他数整除
• $d>1,d\in N^*,p是素数，d|p\Rightarrow d=p$
• $p$ 是素数，$p|ab\Rightarrow p|a\quad or\quad p|b$
• 素数无穷多
• 每个大于$1$ 的正整数都有一个素因子
• $n$ 是合数，则必有$\leq \sqrt n$ 的素因子
• $\gcd(m,n)=1\Rightarrow \gcd(m,n+m)=1$ （反证法）

定理与猜想

猜想

• 伯特兰猜想：任意正整数$n$ （大于$1$ ），存在素数$p$ 有$n<p<2n$
• 孪生素数猜想：存在无穷多的$p$ 和$p+2$ 的素数对
• 哥德巴赫猜想：每个大于$2$ 的正偶数可以写成两个素数之和

素数定理

• 定义$\pi(x)$ 表示小于$x$ 的素数个数，$\pi(x)=\frac{x}{\ln x}$

• 推论：定义$p_n$ 为第$n$ 个素数，$p_n \sim n\ln n$

算术基本定理

• 定理：每个大于$1$ 的正整数$n$ 都可以被唯一的写成素数的乘积$n={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_k}^{\alpha_k},p_1<p_2<\cdots<p_k$ 且是素数，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_k$ 是正整数。

• 设$d(n)$ 为$n$ 的正因子个数，$\phi(n)$ 为$n$ 的所有因子之和，则有

  d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)\\ \phi(n)=\frac